Svetozor

SVETOZOR

Internetový magazín prinášajúci odborné články s prevažne nadčasovou platnosťou

O pôvode a vývoji variačného počtu


prof. PhDr. František Studnička

Pozrieme sa na pôvod variačného počtu, ako sa časom zdokonaľoval a aký je jeho vzťah k diferenciálnemu a integrálnemu počtu, ku ktorým sa zvyčajne pripája. Získame tým nie len širší pohľad na matematickom poli a hlbšie poznanie niektorých stránok vyššej analýzy, ale vysledujeme tým aj zaujímavé a podivuhodné dráhy, akými sa mnohé základné myšlienky v priebehu celých storočí, dokonca tisícročí uberali než prišli k plnej platnosti.

Ako je už známe, viedlo riešenie úloh o maximách a minimách ako aj zostrojovanie dotyčníc, ktorými sa už starí matematici, najmä grécky, zaoberali, až v novoveku, keď v XVII. storočí najslávnejší matematici svoje myslenie na nich obrúsili, k ustáleniu zvláštnych pravidiel, podľa ktorých je možné z nejakej danej funkcie ustanoviť odvodené funkcie, na čom potom Leibniz založil celý diferenciálny počet a s ním súvisiaci integrálny počet.

A podobným spôsobom tiež viedli jednotlivé matematické úlohy, s ktorými sa taktiež zaoberali už staroveku k ustanoveniu zvláštnych pravidiel, ako sa majú riešiť, z ktorých potom koncom XVIII. storočia po dlhom namáhaní vynikajúceho Eulera a Lagrange sa vyvinul takzvaný variačný počet ako samostatný odbor vyššej analýzy.

Tak ako pri diferenciálnom počte, jednalo sa tu o úlohy dvojitého, hoci v podstate spriazneného rázu.

Už starí filozofi a matematici učili, že príroda pracuje s minimálnym namáhaním, že všetko prevádza v minime času a s maximom výsledku.

Z tohto dôvodu dokazoval Heron a po ňom Viteliio, že svetlo pri odraze volí najkratšiu dráhu, aby sa z jedného bodu čo najrýchlejšie dostalo do druhého bodu, a preto tiež, pri zrkadlení uhol dopadu sa musí rovnať uhlu odrazu. Na tom istom princípe potom založil Fermat a Leibniz dôkaz, že pri lome svetla je pomer sínusov lúčov dopadajúceho a lomeného stálou veličinou, závislou len na pomere hutnosti oboch ohnísk.

Dobrý výsledok, ktorého dosiahli títo vzdelanci, viedol nemenej geniálneho Huygensa k podobnej všeobecnejšej otázke, pýtal sa totiž, akú dráhu volí lúč, aby v najkratšom čase prešiel ohniskom, ktorého hutnosť sa nepretržite mení, a dáva všeobecnú odpoveď, že aj v tomto prípade bude dráha taká, aby bol čas čo najkratší, súčet odporov čo najmenší, teda najľahší priechod, z tejto príčiny, dráha musí byť krivá.

A podľa tejto, pre teóriu vzduchovej refrakcie, veľmi dôležitej úlohy, hoci nebola dopodrobna vyriešená, postavil Johann Bernoulli v júni roku 1696 podobnú úlohu, pýtajúc sa, pozdĺž ktorej krivky padajúc spadne hmotný bod najskôr z daného bodu dole do bodu taktiež daného.

Galileo Galilei, ktorý sa už dávnejšie zaoberal touto úlohou, prišiel svojím rozumovaním k tomu, že táto dráha nie je priamkou spájajúcou obidva body, ale kruhovým oblúkom, čím sa ale do pravdy netrafil. Až sám Bernoulli dokázal podať pravdivé riešenie, že o tejto krivke z tohto dôvodu pomenovanej brachistochrona, platí:

rovnica

teda že to je cykloida. K tomuto výsledku prišiel aj Leibniz, ktorý ju nazval tachystoptota.

Je tu ešte potrebné pripomenúť, že ešte pred tým slávny Newton riešil úlohu podobného rázu. Ustanovil krivku, ktorá otočením okolo danej osy obaľuje teleso, ktorému pri pohybu v nejakej tekutine sa stavia v ústrety najmenší odpor. Avšak ale nepodal dôkaz a ani neukázal, ako prišiel k podanému výsledku, a jeho klasický spis bol vtedy prístupný a celkom zrozumiteľný len malému počtu matematikov. Preto sa jeho riešenie tejto úlohy nestalo nijak podstatné pre ďalší rozvoj tejto stránky matematiky.

K týmto zaujímavým úlohám sa dôstojne radia po boku podobné, ktoré majú na zreteli krivky alebo plochy, u ktorých vedľa nejakej danej vlastnosti sa vyskytuje maximum alebo minimum inej vlastnosti, sú to slávne izoperimetrické problémy, ktorých pôvod siaha až do staroveku.

Už Pytagoras učil, že medzi všetkými obrazcami rovnakého objemu, kruh vymedzuje najväčšiu plochu a že kruh a guľa sú najdokonalejšími tvarmi.

Podobne Archimedes dokázal, jednajúc o izometrických úlohách, že guľa medzi všetkými telesami rovnakého povrchu zaberá najväčší priestor, z čoho potom neskôr Theon Alexandrijský sa snažil dokázať, že svet ako najdokonalejší útvar musí mať podobu gule, pretože sa týmto spôsobom do neho najviac vojde. Taktiež Pappus zaoberal sa podobnými úlohami, pri čom prišiel i k poznaniu, že včely stavajú svoje bunky zo šesťbokých, zvláštnym spôsobom prikrojených hranolov z tej príčiny, aby sa do nich vošlo čo najviac medu, aby s minimom vosku vytvorili čo najviac priestoru.

V neskorších dobách sa niekoľkokrát opakujú Theonové názory; Clavius vo svojom komentári k slávnemu spisu „De Sphaera“ ktorý vydal Sacro-Bosco, ako i Thomas de Bradwardin, tak zvaný „doctor profundus“, uvádzajú podobné dôvody, že svet je guľatý, ako Theon a Pappus, bez toho aby sa mohlo tvrdiť, že nemajú nič originálneho.

Avšak doterajšie riešenie týchto a podobných úloh je prevádzané iba čisto geometrickým spôsobom, ktorého sa neskôr pridržiavali i Galileo, majúc dokázať, že kruh ohraničuje pri danom obvode čo najväčšiu plochu.

Vedľa tohto spôsobu začali až v XIV. storočí vlašskí matematici, zaoberajúci sa riešením izoparametrických úloh, používať algebraický spôsob, ktorý neskôr so zvláštnou záľubou rozvíjali slávni francúzski a anglickí učenci, ako Fermat, Roberval, Wallis a ďalší.

Do plného záujmu sa však tieto a podobné otázky, tak ako aj spôsoby, ako ich riešiť dostali až úlohou, ktorú v roku 1697, teda rok po predložení otázky o brachistochrone, dal vtedajším matematikom Jakub Bernoulli.

Aby zatienil brata Jana, vymyslel si ešte ťažšiu úlohu, žiada, aby sa medzi dvoma danými bodmi ustanovila krivka, ktorá by nie len obmedzovala najväčší obsah, ale aby mala i tú vlastnosť, aby zároveň plošný obsah, obmedzený súradnicami daných bodov a medzi ne pripadajúce časti osy úsečiek a tiež aj krivku, ktorej súradnice sú dané funkcie príslušných súradníc alebo oblúkov hľadanej krivky bol, pokiaľ je to možné, čo najväčší alebo čo najmenší.

Riešenie tejto úlohy bolo pre vtedajšiu dobu neľahké a podarilo sa až po tom, keď Leibniz a Ján Bernoulli riešili jednoduchšiu úlohu vyhľadávajúcu dôkaz, že u reťaznice leží ťažisko najnižšie.

K tomuto vedeckému zápasu sa však pridružil nemilý spor medzi oboma bratmi, ktorý, nanešťastie, trval až do smrti Jakuba Bernoulliho, javiaci sa nevraživosťou a nevľúdnosťou z oboch strán.

Jacob Bernoulli, matematik, fyzik a astronóm

Jacob (Jakub) Bernoulli, brat Johanna (Jána) Bernoulliho bol švajčiarsky matematik, fyzik a astronóm.(1654 – 1705)


Keď totiž Jakub Bernoulli oznámil, že spôsob, akým riešil túto úlohu, podobá sa spôsobu, akým bola ustanovená brachistochrona, podal Ján Bernoulli zvláštne riešenie tejto úlohy, ale žiarlivý Jakub to nesprávne celkom zavrhol; okrem toho si ešte dovolil tvrdiť, že ľahko uhádne spôsob, akým prišiel Ján k cieľu, sľúbil, že odhalí všetky kazy bratovej metódy, ako náhle uverejní podrobné riešenie, a tiež povedal, že sám podá správnu a dôkladnú odpoveď na túto otázku, k čomu ešte hrdo a vyzývavo pripojil, že raz dvoma troma proti jednej sa chce staviť, pokiaľ nesplní prvý, druhý alebo tretí sľub.

Tým bol jeho brat Ján maximálne popudený a odpovedal podľa toho spôsobom veľmi nevľúdnym, po čom sa medzi oboma bratmi rozpriadla neutešená polemika, ktorá sa stávala tým príkrejšou, čim dlhšie sa spor viedol, až nakoniec smrť zastavila ich krutý boj.

Ako všetky vedecké spory mal však aj tento bratský zápas ten dobrý výsledok, že sa ohľadom spornej veci prišlo k jasnejšiemu úsudku a hlbšiemu poznaniu.

Jakub Bernoulli, ktorý bystrou mysľou vynikal nad Janom, uverejnil podrobné odôvodnenie spôsobu, akým riešil predloženú izoparametrickú úlohu, skutočne dokázal, v čom sa mýlil jeho brat, a tiež predložil vtedajším matematikom okrem toho podobnú úlohu, aby sa stanovila medzi všetkými cykloidami z toho istého bodu vychádzajúcimi a k rovnakej základni taká, bez toho aby z daného bodu padajúc dobehlo teleso v najkratšej dobe na danú priamku.

Vedľa tejto úlohy sa ešte viedla diskusia o známom probléme, ustanoviť krivku najmenšieho odporu, určiť najkratšie spojenie dvoch bodov na danej ploche a tak podobne, čím bol takmer vyčerpaný zvláštnymi prípadmi program neskoršieho variačného počtu. S týmito a podobnými úlohami sa usilovne zaoberali L’Hopital, Duillier, Ján a Jakub Bernoulli. Avšak nikoho nenapadlo aby spojito pojednal o týchto metódach, na akých sa zakladá riešenie všetkých tu patriacich úloh. Jediný princíp, ktorého sa všetci pridržiavali, a ktorý ako prvý presne vyslovil Jakub Bernoulli „že ak seba menšie krivky majú vlastnosť maxima alebo minima, to isté platí o celej krivke“, sa ukázal pri ďalších vyšetrovaniach ako nedostatočný, dokonca v niektorých prípadoch i celkom nesprávny.

Až keď Leonard Euler, žiak Jána Bernoulliho, po výzve svojho učiteľa správne vyriešil poslednú uvedenú úlohu, a týmto smerom obrátil svoje úsilie ohľadom riešenia týchto problémov, nastal na tomto poli obyčajného kladenia a riešenia jednotlivých úloh nový obrat.

Už v roku 1733 sa snažil Euler, všetky dosiaľ podané úlohy uviesť na jedno stanovisko, z ktorého by vypadali ako zvláštne prípady jediného všeobecného problému, a vydal o výsledku svojich bádaní zvláštny spis (Problematis isoperimetrici in latissimo sensu accepti solutio generalis. Auctore L. Eulero. Ibid. Tom. VI. ad annos 1732 et 1733 (vyšiel 1738) pag. 123.), v ktorom roztriedil sem patriace úlohy takto:

1. Zo všetkých kriviek sa má vybrať taká, pri ktorej je maximum alebo minimum vlastnosti A.

2. Zo všetkých kriviek, u ktorých vlastnosť A je spoločnou, má sa ustanoviť taká, u ktorej je maximum alebo minimum vlastnosti B.

3. Zo všetkých kriviek, ktoré majú spoločnú vlastnosť A a B, má sa určiť taká, u ktorej je maximum alebo minimum vlastnosti C, atď.


Ak preložíme normálne znenie vyššie uvedených viet do matematického jazyka, písal o tom, ako sa má ustanoviť y ako premennej funkcie x vo výraze

                    V = f (x, y, y′... ),

aby obmedzený integrál

rovnica

bol maximum alebo minimum a síce buď bezprostredne, alebo pre tento prípad, že

rovnica

alebo mimo toho aj

rovnica

Z tohto obsahu vidno nie len, ako všeobecne Euler prijímal svoju úlohu, ale aj ako rozšíril odbor dovtedajšieho bádania na tomto novom poli.

Avšak, tým sa neskončila jeho nová práca. Jeho hĺbavý duch nezostal stáť pri výsledkoch, ktorých týmto popisom dosiahol, ale snažil sa tým usilovnejšie, aby podal jasný a jednotný spôsob riešenia všetkých sem spadajúcich úloh.

V roku 1744 vydal, ako výsledok dlhoročného bádania nový spis o tomto predmete (Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti. Auctore Leonhardo Eulero, Professore Regio et academiae Imperialis scientiarum Petropolitansae Socio. Lausannae et Genevae 1744.), ktorý sa považuje za prvý spis o variačnom počte.

Tento klasický spis, ktorý sám Lagrange nazýva „un ouvrage original, qui brille partout d’une profonde science de calcul“ pozostáva z dvoch častí, z ktorých prvá pojednáva o absolútnych maximách alebo minimách (methodus maximorum et minimorum ad lineas curvas inveniendas absoluta), druhá potom o relatívnych, podmienených maximách alebo minimách, (methodus maximorum ac minimorum relativa); k tomu sú potom ešte pripojené dva dodatky „de curvis elasticis“, o ktorej bude v tomto článku ešte učinená zmienka a „de motu projectorum“, ktorá dokazuje, že tu je integrál

                    J=∫vds

buď maximum alebo minimum, čo sa od tej doby v analytickej mechanike uvádza ako zvláštny princíp.

To čo sa považovalo za zvláštnu stránku integrálneho počtu, objavilo sa ako zvláštny a samostatný počet, ku ktorému patria jednotlivé úlohy, o ktorých sme sa dosiaľ zmienili len ako o zvláštnych prípadoch; lebo tu bolo ukázané vyšetrovanie premennosti tvaru funkcií a tým postavené po boku ich variácie.

Z doterajšieho rozprávania je zrejmé, ako sa postupne vyvinul na základe jednotlivých úloh, vedúcich v podstate k ustanoveniu maxima alebo minima nejakého integrálu, zvláštny odbor a takmer vrchol vtedajšej matematiky, z čoho zároveň poznávame, ako dlho tieto jednotlivé úlohy zamestnávali matematický svet, kým z nich Euler abstrahoval základy variačného počtu.

Teraz je nám potrebné sa ešte pozrieť, ako tento spôsob matematického vyšetrovania, za zakladateľa ktorého môžeme po považovať Eulera, sa ďalej zdokonaľoval a ako ďaleko v našich dobách už pokročil.

Ako bolo práve uvedené, položil Euler svojim spisom nie len základy nevej náuky, ale tiež vykonal aj celú ich stavbu v jednoduchých hlavných rysoch; ale jeho práci chýbala plná jednotnosť jednak v metóde, ako aj vo všeobecnosti v obsahu, predovšetkým čo sa týka vyšetrovania pre ten prípad, že medze vyskytujúcich integrálov sú premenné.

Sotva však uplynulo jedenásť rokov, boli i tieto nedostatky odstránené. Tak ako Euler tak si aj mladistvý Lagrange dobyl prvých vavrínov na tomto matematickom poli a to dômyselným rozborom variačného počtu a novou analytickou metódou do neho zavedenou.

Bez dlhých príprav a rozjímania, čo je vôbec spôsobom geniálneho Lagrange pri všetkých jeho spisoch, pustil sa hneď do plného prúdu a riešil vo všetkej všeobecnosti Eulerové problémy spôsobom čisto analytickým, ktorý vypadal tým elegantnejšie, pretože zároveň zaviedol pre nový úkon variácie symbol δ, čím bolo jednoduché naznačiť rozdiel od samotnej derivácie. Tým, že dal funkcii za integračným znamením, ktorá u Eulera mala tvar

                    Vdx=f(x,y,z,y,y′, y′′, ... z′, z′′,...)dx,

všeobecnejší význam

                   Z=f(x,y,z, dx, dy, dz, d2x,...)

a, že medzné hodnoty tiež považoval za premenné, tým dovŕšil Eulerovú prácu a takto pripravil aj pôdu pre vyšetrovanie maximálnych alebo minimálnych hodnôt zdvojených integrálov, z trojených a vôbec mnohonásobných, čo bolo prenechané matematikom devätnásteho storočia.

Tohto odkazu sa ujal predovšetkým Gauss, tento veľký duch medzi učencami nášho veku, a ako prvý ustanovil variáciu zdvojeného integrálu, po čom Poisson celú teóriu doplnil a Ostrogradskij mnohonásobne rozšíril aj na integrály.

Avšak nie len teóriu ale i prax variačného počtu bolo nutné rozšíriť; lebo dovtedy neboli ustanovené známky, podľa ktorých je možné rozhodnúť, kedy nastáva maximum alebo minimum nejakého integrálu a ktorá z týchto hodnôt zvlášť.

Pre jednoduchšie integrály so stálym obmedzením podal presné kritéria Jacobi, obzvlášť veľkým pričinením cestu k ním vedúcu vytvorili Charles Delaunay, Bertrand, Spitser, Hesse, Clebsch, Minding, Stern, A. Meyer a ďalší.

Aby teóriu variačného počtu posunula dopredu, vypísala parížska akadémia v roku 1840 na takzvanú veľkú cenu matematiky (grand Prix de Mathematiques) túto otázku: Nájdite hraničné rovnice, ktoré musíme spojiť s neurčitými rovnicami, aby sme úplne určili maximá a minimá viacerých integrálov. („Trouver les équations aux limites que l’ on doit joindre aux équations indéfinies pour déterminer complétement les maxima et minima des intégrales multiples.“)

Túto vypísanú cenu získal Sarrus za rozsiahlu prácu podanú s nadpisom: Výskum výpočtu variácií („Recherches sur le Calcul des Variations“), ktorá ale až v roku 1848 bola uverejnená v „Mém. des Sav. étran.“ tom. X.

V tejto práci bola najprv presne vytýčená podstata variácie a tým tiež trvalo upevnený základný kameň celej stavby. Pretože túto stránku veci ani Euler, ani Lagrange dôkladne a jasne nevysvetlili, tak ako sa to vyžaduje pri matematických predmetoch; a neskoršími pojedaniami, aké o základoch variačného počtu uverejnili Ampère, Müller, Schellbach a ďalší, nebola táto medzere vyplnená, ale skôr rozšírená, pretože sa zrejme objavilo, aká rozmanitosť sa tu vyskytuje.

Okrem toho bol nového operačného symbolu, tak zvaného substitučného znamenia, veľmi zjednodušený celý zložitý počtový mechanizmus, predovšetkým pri určovaní variácie mnohonásobných integrálov, ktorá tu síce dostala tvar menej súmerný, než ho ustanovil Ostrogradskij, avšak oveľa pohodlnejší a k praktickému použitiu spôsobilejší.

Nakoniec Ampère veľmi zjednodušil použitie variačného počtu rozoznávaním zvláštnych prípadov, v ktorých je možné najskôr všeobecne previesť aspoň jednu integráciu diferenciálnych rovníc, ku ktorým vedú úlohy tu patriace. Ale čo sa týka rozoznávania maximálnych a minimálnych hodnôt mnohonásobných integrálov, tu neprišiel ani Sarrus k novým dôležitým výsledkom.

Z tohto dejepisného rozprávania je vidno, že snáď nie je matematického odboru, ktorý by sa honosil tak zaujímavou a poučnou históriou, ako variačný počet.

Rada jednotlivých zaujímavých úloh, na ktorých svoje schopnosti osvedčili už grécky učenci vyskytuje sa stále s rozmanitými variantmi matematiky neskorších vekov, ku geometrickému riešeniu druží sa neskôr aj riešenie algebraické, až konečne v XVIII. storočí celá vec sa obráti a začne sa všeobecne skúmať základ, na ktorom spočíva riešenie všetkých týchto a podobných úloh. Zo všeobecnej metódy potom povstáva nový druh analýzy, ktorá ako variačný počet doplňuje diferenciálny a integrálny počet, a činí z neho veľkolepú stavbu geniálneho ľudského myslenia.

Autor tohto článku, prof. PhDr. František Josef Studnička bol český matematik, učiteľ a spisovateľ. František Studnička sa narodil 27. júna 1836 v osade Janov, ktorá sa nachádza približne jeden kilometer východne od obce Roudná. Gymnaziálne študia absolvoval na Gymnáziu v Jindřichovom Hradci. Už tu našiel záľubu v matematike a fyzike. Po maturite študoval filozofickej fakulte viedenskej univerzity. Univerzitné štúdia ukončil v roku 1861 doktorátom filozofie. V roku 1862 nastúpil na miesto suplujúceho profesora na vyššom nemeckom gymnáziu v Českých Budějoviciach. V roku 1864 sa uchádzal o miesto honorovaného docenta vyššej matematiky a analytickej mechaniky na pražskej polytechnike, na ktoré bol vypísaný konkurz. A už v roku 1866 sa stal stálym profesorom matematiky. Na pražskej polytechnike pôsobil až do roku 1871. V auguste roku 1871 bol František Josef Studnička menovaný stálym profesorom matematiky na Karlo-Ferdinandovej univerzite v Prahe. Keď v roku 1882 došlo k rozdeleniu pražskej univerzity na českú a nemeckú, stal sa Studnička prvým dekanom českej filozofickej fakulty. V školskom roku 1888 - 1889 bol rektorom českej univerzity. Na pražskej univerzite prof. PhDr. František Josef Studnička pôsobil až do svojej smrti. Zomrel 21. februára 1903 v Prahe.