Svetozor

SVETOZOR

Internetový magazín prinášajúci odborné články s prevažne nadčasovou platnosťou

Určenie hodnoty Eulerovho obmedzeného integrálu


Autor: Augustin Panek

obr. 01

integrál

Aby sme ustanovili integrál:

obr. 02

integrál

Hodnotu tohto integrálu určil Euler v „Institutiones calculi integralis“, Vol.I., sect.1., cap. VII.,IX. a Vol. IV., Mélanges de la Société du Turin, T. III., Nova Acta Academ. Petropol., Tom. V., Miscellanea Bernolinesia VII., 129. Preto nazval Legendre tento integrál po Eulerovi integrálom Eulerovým a sice „prvého druhu“, ktorého označenie podľa Bineta „Mémoire sur les intégrales définies Eulériennes, et sur leur application à la théorie des suites, ainsi qu’ à l’évaluation des fonctions des grands nombres; Journal de l’ école polytechnique, cah. 27.“, je symbol B {a, b) = B (b, a,), hoci sa tiež aj podľa Eulera „počet integrálny, kap. 9. pag. 237. 1. (2. vyd., Petrohrad, 1793)“ a Legendre-a „Exercices du calcul intégral. Paris, 1811“, používa označenie (ba), potom Legendre vo svojom „Traité des fonct. et des intégr. Eul. T. II., pag. 414“ uvádza symbol [b,a].


Aby sme ustanovili integrál, ktorý je uvedený vyššie, použijeme vzorec k integrovaniu po častiach, po čom tento všeobecný integrál získa tento tvar:

obr. 03

integrál

Z ktorého vychádza pre určité medze od 0 po ∞, tento redukčný vzorec:

obr. 04

integrál

Ak predpokladáme, že b > a > 0.

Ak ustanovíme integrál na pravej strane podľa toho istého vzorca, dostaneme ďalej toto:

obr. 05

integrál

Ak spojíme výsledky po tomto

obr. 06

integrovanie

násobnom integrovaní dostaneme:

obr. 07

integrál

Ako je známe, boli Legendrom a Gaussom súčasne v analýze uvedené úkony Γ a Π ktoré sú v takej súvislosti, že Γ(n) je to isté čo Π(n-1), pokiaľ n má kladnú hodnotu. Pre záporné n je úkon Γ(n) vždy nekonečne veľkým, zatiaľ čo Π(n-1) zostane určitou funkciou a len vtedy sa stane nekonečnou a pretržitou, ak udelíme n hodnoty 0, -1, -2,...Definícia funkcie Π sa uvádza ako nekonečný súčin, Γ ako obmedzený integrál. Teória týchto funkcii bola preverená, keď Lejeune Dirichlet dokázal Gaussovú multiplikačnú teóriu, pri čom tiež použil túto vetu:

obr. 08

integrovanie

Ktorú, je možné rozmanitým spôsobom použiť.

Podľa tejto vety je:

obr. 09

integrál

Ak dáme:

obr. 10

integrovanie

Bude:

obr. 11

integrovanie

Po čom dostaneme:

obr. 12

integrál

Ak ďalej derivujeme na oboch stranách (n+1)kráť po sebe podľa y, dostaneme:

obr. 13

integrál

Alebo:

obr. 14

integrál

Keď vložíme do tohto vzorca y = 1 získame integrál uvedený na pravej strane v obr. 07.

obr. 15

integrál

Ak zavedieme jeho hodnotu do vzorca na obr. 07, získame konečne daný integrál v tvare:

obr. 16

integrál

Zaujímavá vlastnosť tejto funkcie beta sa vyvodí spojením integrálov:

obr. 17

integrál

Počom

obr. 18

integrál

Jeden z týchto integrálov sa stotožní s druhým, ak píšeme 1y namiesto x, preto:

obr. 19

integrál

Táto rovnica má podľa matematika Legendrea všeobecnú platnosť, podľa Eulera ale len prípadnú, ak je a + b = 1, z čoho vyplýva:

obr. 20

integrál

Všeobecnejší integrál, než na obr.02 je tento:

obr. 21

integrál

Kde α>0. Ak tu zavedieme y namiesto axm dostaneme:

obr. 21

integrál

Teda:

obr. 22

integrál

Ak má integrál (na obr. 22) na ľavej strane tvar daného, čo sa stane položkou m=1, α=1, dá sa potom substitúciou:

integrovanie

uviesť do podoby:

obr. 23

integrál

Tento integrál použil Liouville k potvrdeniu a rozšíreniu Dirichletovho spôsobu o redukcii násobných integrálov. Pri vyšetrovaní tohto problému použil Jacobiho myšlienkového chodu, ktorý sa javí pri jeho redukcii funkcie B na funkciu gama. Podľa tejto myšlienky Poisson podal svoj dôkaz Eulerovho vzorca:

integrovanie

Dajme tomu, že α = -1, a + b=1, m = 2b, a ak sú medze 0, 1, máme:

obr. 24

integrál

Ak do tohto integrálu ďalej v píšeme 4b namiesto 2b a a +b namiesto a zmení sa na tento:

obr. 25

integrál

Ak vynásobíme tento prvý integrál

integrovanie

A posledný

integrovanie

A nazveme ich rozdiel V, potom dostaneme:

obr. 26

integrál

Alebo:

obr. 27

integrál

Ak sa vrátime späť k pôvodnému tvaru V, a ak vyvinieme funkcie za integračným znamením v rade, získame:

obr. 28

rovnice

A ak integrujeme obidva tieto riadky podľa x, dostaneme:

obr. 29

rovnice

Alebo:

obr. 30

rovnice

Ak usporiadame radu týchto členov:

obr. 31

rovnice

Ak teraz spojíme dva po sebe idúce členy, dostaneme:

obr. 32

rovnice

Alebo po opätovnom spojení dvoch členov:

obr. 33

rovnice

Ak položíme do vzorca obr. 27 a = b = 1, je:

obr. 34

rovnice

Takže konečne V = 14 l 2.

Ak pložíme aj do vzorca obr. 33 a = b = 1, dostaneme:

obr. 35

rovnice

Z predchádzajúcich relácii vyplýva:

obr. 36

rovnice

Autor tohto článku, Augustin Pánek, bol asistentom na kráľovskej českej zemskej polytechnike, a učiteľom na prvej verejnej sladovníckej škole v Prahe. Tento text článku pochádza z roku 1871.