Svetozor

SVETOZOR

Internetový magazín prinášajúci odborné články s prevažne nadčasovou platnosťou

Určenie geometrického miesta pólu rezov zväzkov plochy 2 st. vzhľadom k paprskovému zväzku


Autor: Jan Melichar

Nech je F plocha 2 st. majúca za obrys akéhokoľvek premetu kužeľosečku F, priamka P bude osou zväzkov rezu plochy F; priesečné body priamky P s plochou budú body m, n či už reálne alebo imaginárne (v obrazci sú reálne). Rovina ρ pretínajúca plochu F v kužeľosečke R reálne alebo imaginárne; pretína potom jednotlivé roviny zväzku P v priamkach majúce spoločný bod k na P; bod k je teda priesečníkom priamky P s rovinou ρ a je stredom paprskového zväzku, ku ktorému jednotlivým elementom príslušné póly vzhľadom k jednotlivým vyplňujú čiaru, ktorú chceme bližšie určiť. Že hľadané geometrické miesto je čiarou, vyplýva z toho, že paprskový zväzok má počet elementov ∞ a ten istý počet príslušných pólov, takže tieto póly tvoria čiaru.

Rovina α zväzku P pretínajúc plochu v reálnej kužeľosečke S; jej pólom vzhľadom ku ploche je bod a a priesečníky rovín α ρ priamka A, ktorá je spojnicou spoločných bodov u, v kužeľosečiek S, R. Hľadaný pól x priamky A vzhľadom k rezu S je potom ako priesečník dotyčníc S v bodoch u, v na priesečnici dotyčných rovín plôch bodov u, v; touto je potom spojnica pólov a, r, ak je bod r pólom roviny S ku ploche.

Keďže potom spojnice uv, ar sú združené polárne priamky vzhľadom ku ploche F, bude zrejme hľadaný pól x tiež na spojnici pólov a, r avšak aj v prípade, že body u, v nie sú reálne bez ohľadu na to či rez R je reálny alebo imaginárny.

Uvážme ďalej, že pól priamky A vzhľadom ku S bude na poláre zvoleného bodu priamky A vzhľadom ku S; zvolíme za takýto bod priesečník priamok A, P, to je bod k, bude polára jeho spojnici bodov a1 h, ak je bod a1 pólom priamky P vzhľadom na S a bod h v prípade reálnych bodov bodov určený reláciou (m n h k)=-1, v prípade na imaginárnych bodoch m, n je h s k párom involúcie združených pólov na P vzhľadom na ku ploche. Hľadaný pól x je teda priesečníkom priamok r a, h a1.

Pre všetky ďalšie rezy zväzku P rovinami β, γ, δ...budú póly týchto vzhľadom ku ploche b, c, d... zrejme vyplňovať združenú polárnu priamku Q a póly b1 c1 d1.,. priamky P vzhľadom ku ďalším rezom naplnia tú istú priamku Q, pri čom rady bodov a b c d ..., a1 b1 c1 d1 tvoria involúciu združených pólov vzhľadom ku ploche. Keďže potom body r, h sú pevné, bude rada hľadaných pólov x vytvorená priesečníkmi spojníc r a, r b, r c,...so spojnicami h a1 , h b1, h c1 to je rada pólov x je kužeľosečka K vytvorená dvoma projektívnymi zväzkami r, a b c d ..., h, a1 b1 c1 d1...

Z povahy veci je zrejmé, že oba tieto zväzky musia byť v jednej rovine, inak je to zrejmé tiež z toho, že rovina Q h je polárnou rovinou bodu k vzhľadom ku ploche a tá istá rovina prechádza bodom r, zatiaľ čo bod k je v rovine P.

Hľadané geometrické miesto - kužeľosečka K - leží totiž v polárnej rovine bodu k vzhľadom ku ploche a prechádza pólom r roviny R, bodom h, ktorý s k tvorí pár involúcie združených pólov na P vzhľadom ku ploche; a oboma dvojnými bodmi involúcie združených pólov na Q vhľadom ku ploche; tieto body sú reálne v prípade, že priamka P nepretína plochu a sú potom dotyčné body y, z dotyčných rovín plochy vedených priamkou P, čiže nekonečne malé rezy zväzkov P.

Dotyčnice kužeľosečky K v bodoch h, r majú svoj priesečník t na priamke Q, PRI Čom priesečník spojnice h r s priamkou Q tvorí s bodom hľadaným t pár involučne zdužených pólov vzhľadom ku ploche.

V krajnom prípade, keď rovina rezu vedeného priamkou P pretína rovinu R v dotyčnici čiary R, to je keď lúč A stane sa dotyčnicou čiary R vedenou bodom k, bude sa príslušný rez dotýkať kužeľosečky R pri spoločnej dotyčnici k p alebo k q; príslušné póly potom u oboch týchto rezov vzhľadom k dotyčniciam sú dotyčné body p, q, ktorými tiež kužeľosečka prechádza. Kužeľosečka K teda kosí plochu v známych štyroch bodoch y, z, p , q.

Ak je rovina nekonečne vzdialenou rovinou, budú jej priesečnice s jednotlivými rovinami zväzku P taktiež nekonečne vzdialené ich priamky a póly vzhľadom k rezom zväzku sú potom stredy. Pól r je potom stredu plechy, bod h v strede tetivy m n, body y, z ako skôr a body p, q na nekonečne vzdialenom reze plochy udávajú smery povrchových priamok asymptotického kužeľa, v ktorých sa dotýkajú obydve jeho dotyčnice roviny vedené rovnobežne s priamkou P, čo znamená, že kužeľosečka K v prípade, že plocha je elipsoid, je vždy elipsou, v prípade paraloidu

Určenie geometrického miesta pólu rezov zväzkov plochy 2 st. vzhľadom k paprskovému zväzku width=

alebo valca vždy parabolou, v prípade hyperboloidu alebo kužeľa buď elipsou, hyperbolou alebo parabolou, podľa toho, či sú zmienené roviny dotyčné imaginárne, reálne alebo splývajúce.

Keďže kužeľosečka K má s plochou spoločné štyri body y, z, p, q, z ktorých posledné dva zapadajú do nekonečne veľkej vzdialenosti, bude rez plochy rovinou K kužeľosečka homotetická s K; rovina K obsahujúc potom body y, z, h, ktorý rozpoľuje tetivu m n, a stred plochy, bude združená ku smeru P.

Z toho sa dá povedať: geometrické miesto stredu všetkých rezov guľovej plochy vedených priamkou je kružnica; geometrické miesto stredov tetív kužeľosečky idúcich bodom tvorí homotetickú kužeľosečku (čo však je možné tiež elementárne dokázať a tým všetko ostatné použitím priestorovej afinity).

Ak uvážime, že zväzok rezov plochy 2 st. alebo rovnobežné rezy je možné premietnuť v radu tetív obrysovej kužeľosečky idúcich jedným bodom alebo rovnobežných a priesečnice roviny ρ so zväzkom rezov v priamku, je možné odtiaľ poznať niektoré geometrické miesta.

Vo všeobecnom prípade, kde ide o geometrické miesto pólov rezov zväzku vzhľadom ku zväzku lúčov bude kužeľosečka K buď elipsou, hyperbolou alebo parabolou podľa toho, či nemá reálnych alebo či má dva alebo jeden reálny bod i v nekonečnej vzdialenosti.

Aby pól x zapadol do nekonečna, musí príslušná tetiva u v, ak je z obrázka viditeľné byť priemerom príslušného rezu S, čo bude v prípade, keď stred S bude v rovine R; keďže potom stredy všetkých rezov zväzku P tvorí kužeľosečku Ks, bude kužeľosečka K elipsou, hyperbolou alebo parabolou podľa toho, či ju pretína v dvoch reálnych bodoch alebo či sa jej dotýka v bode.